Toán học và sự lan truyền bệnh dịch

Ta đã biết Lực hấp dẫn của một vật tác động lên vật khác tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa hai vật đó. Định luật này do Niu-tơn nêu ra, không ngờ lại có một gợi ý trong việc mô hình hóa sự lan truyền của bệnh dịch. Khi một bệnh dịch xảy ra tại một nơi mà dân cư phân bố gần như đồng nhất, ví dụ như một thành phố, người ta có thể nghiên cứu cách mà bệnh đó lan truyền bằng cách giả thiết rằng những cá thể khác nhau cùng có một khả năng tiếp xúc như nhau. Ngược lại, giả thiết đó không có hiệu lực để xét đến vấn đề lan truyền bệnh dịch nếu sự phân bố cộng đồng dân cư không đồng nhất trên lãnh thổ của họ: ví dụ một xứ gồm nhiều cộng đồng có dân số khác nhau quá xa (thành phố, thị trấn, xã, làng, xóm…). Nếu một bệnh xuất hiện trong một thành phố nhất định, ước lượng như thế nào nguy cơ bệnh đó lan truyền đến thành phố khác của đất nước? Một cách cổ điển để xử lí là giả thiết rằng nguy cơ đó tỉ lệ nghịch với khoảng cách giữa hai thành phố. Ý tưởng chủ đạo là: hai thành phố càng cách xa nhau, thì tác động qua lại giữa chúng càng yếu, do đó nguy cơ giảm đi.

Nhưng vấn đề không phải giản đơn như vậy. Điều trên hiển nhiên không đúng với hai thành phố lớn ngày nay có số hành khách qua lại lớn bằng máy bay. Thực vậy, từ những công trình của Andrew Cliff, nhà địa lý kinh tế ở Đại học Cambrdge, người ta thấy rằng những biến động về dân số quan trọng hơn rất nhiều khi xét đến những thành phố lớn. Điều ghi nhận đó đã gợi ý cho Andrew Cliff vào năm 1973 xác lập một mô hình hấp dẫn của những tác động qua lại giữa những tập hợp dân cư: bằng cách xem dân số của một thành phố là “khối lượng”, xem tác động qua lại giữa các thành phố tỉ lệ với khối lượng (hoặc là với lũy thừa của mỗi khối lượng), và tỉ lệ nghịch, với một lũy thừa nào đó, của khoảng cách (không nhất thiết là lũy thừa bậc 2 như trong trường hợp của lực hấp dẫn).

Vấn đề còn lại là liên kết hai yếu tố: bệnh dịch với địa lí, sự lan truyền của một bệnh dịch với mô hình hấp dẫn của những sự trao đổi dân cư giữa hai thành phố. Đó là điều mà Yingcun Xia và các cộng tác viên của ông ở Đại học Quốc gia Singapore đã thực hiện. Trên cơ sở những số liệu đã thu được về bệnh sởi vùng Royaume-Uni ở Anh giữa năm 1950 và 1966 (những số liệu chính xác vừa được lấy trong thời kỳ trước khi tiêm chủng), họ đã chứng tỏ rằng có thể xác định được những thông số của một mô hình hấp dẫn như vậy để có sự ăn khớp giữa số liệu dự kiến và số liệu thực tế. Trước hết, trên cơ sở của những số liệu lấy được từ 60 thành phố, ông thấy rằng sự lan truyền bệnh dịch minh họa một cách khá rõ “luật hấp dẫn”, trong đó lực hấp dẫn tỉ lệ với khối lượng của thành phố xuất phát, tỉ lệ theo lũy thừa 1,5 của khối lượng thành phố đến, và tỉ lệ nghịch với khoảng cách hai thành phố. Phân tích gần 900 thành phố khác, ông thấy rằng điều khẳng định đó phù hợp với định luật đề ra.

Phải chăng đó là một công cụ toán hữu hiệu để một ngày nào đó, phục vụ yêu cầu chống những bệnh dịch? Các tác giả còn có ý định vận dụng mô hình này nghiên cứu sự lan truyền của bệnh cúm, một bệnh mà năm nào ngành y tế cũng phải đối phó.

Theo Benoit Rittaud trong La Recherche số 379 tháng 10 năm 2004 (Tạp chí Toán học và Tuổi Trẻ dịch)